Координатная прямая

Что такое координатная прямая?

Координатная прямая — это прямая линия, на которой выбраны:

• начало отсчёта (точка O, соответствующая числу 0);
• положительное направление (обычно слева направо, обозначается стрелкой);
• единичный отрезок (отрезок, длина которого принята за единицу измерения).

Такую прямую ещё называют числовой осью или координатной осью.

На координатной прямой каждой точке соответствует одно число, и наоборот: каждому числу соответствует одна точка. Это число называют координатой точки.

Например, на рисунке ниже показана координатная прямая с началом в точке O, единичным отрезком длиной 1 клетка и положительным направлением вправо.

<----|----|----|----|----|----|----|---->
    -3   -2   -1    0    1    2    3

Точка A с координатой 2 находится на расстоянии 2 единичных отрезков вправо от нуля. Точка B с координатой −3 — на расстоянии 3 единичных отрезков влево от нуля.

Зачем нужна координатная прямая?

Координатная прямая помогает:

• сравнивать числа: чем правее точка, тем больше её координата;
• складывать и вычитать числа с помощью перемещения по прямой;
• наглядно изображать положительные и отрицательные числа;
• понимать модуль числа как расстояние от начала отсчёта.

Это основа для дальнейшего изучения координатной плоскости, графиков и функций.

Положительные и отрицательные числа

Числа, расположенные правее нуля, называются положительными. Они записываются со знаком «+» или без знака: 1, 2, 3, 4,5 и т.д.

Числа, расположенные левее нуля, называются отрицательными. Они всегда записываются со знаком «−»: −1, −2, −3, −4,5 и т.д.

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.

Важно: чем дальше число от нуля влево, тем оно меньше. Например, −5 < −2, потому что −5 находится левее −2.

Координата точки

Координата точки — это число, которое показывает положение точки на координатной прямой.

Обозначение: A(2) читается «точка A с координатой 2».

Правило: чтобы найти координату точки, нужно:
1. Определить, в какую сторону от нуля находится точка (вправо или влево).
2. Посчитать, сколько единичных отрезков укладывается от нуля до этой точки.
3. Записать число со знаком «+» (если вправо) или «−» (если влево).

Пример 1. На координатной прямой отмечена точка M. Она находится на расстоянии 4 единичных отрезков влево от нуля. Значит, координата точки M равна −4. Записываем: M(−4).

Пример 2. Точка K находится на расстоянии 3,5 единичных отрезков вправо от нуля. Её координата равна 3,5. Записываем: K(3,5).

Единичный отрезок

Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принята за единицу. Его выбор произволен: можно взять 1 клетку, 2 клетки, 1 см и т.д. Главное, чтобы все измерения на прямой проводились именно этим отрезком.

На одной и той же прямой можно выбрать разные единичные отрезки. Например, если принять за единицу 1 клетку, то точка с координатой 3 будет на расстоянии 3 клеток от нуля. Если принять за единицу 2 клетки, то та же точка 3 будет на расстоянии 6 клеток от нуля. Поэтому при построении графика важно указывать единичный отрезок.

Сравнение чисел с помощью координатной прямой

Из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее.

Примеры:
- 5 > 2, так как 5 правее 2;
- −1 > −4, так как −1 правее −4;
- 0 > −3, так как 0 правее −3;
- −2 < 1, так как −2 левее 1.

Это правило работает для любых чисел: положительных, отрицательных и нуля.

Модуль числа

Модуль числа — это расстояние от начала отсчёта до точки с данной координатой. Обозначается |a|.

Так как расстояние не может быть отрицательным, модуль всегда неотрицателен.

Примеры:
- |5| = 5, потому что расстояние от 0 до 5 равно 5;
- |−5| = 5, потому что расстояние от 0 до −5 тоже равно 5;
- |0| = 0.

Модуль числа можно найти как длину отрезка от 0 до точки на координатной прямой.

Сложение и вычитание с помощью координатной прямой

Координатная прямая позволяет наглядно выполнять сложение и вычитание.

Правило:
- Прибавление положительного числа — перемещение вправо на соответствующее число единиц.
- Прибавление отрицательного числа — перемещение влево на соответствующее число единиц.
- Вычитание положительного числа — перемещение влево.
- Вычитание отрицательного числа — перемещение вправо (так как минус на минус даёт плюс).

Пример 3. Вычислим −2 + 5.
Начало в точке −2. Прибавляем 5 — двигаемся вправо на 5 единиц: −2 → −1 → 0 → 1 → 2 → 3. Получаем 3. Значит, −2 + 5 = 3.

Пример 4. Вычислим 1 − 4.
Начало в точке 1. Вычитаем 4 — двигаемся влево на 4 единицы: 1 → 0 → −1 → −2 → −3. Получаем −3. Значит, 1 − 4 = −3.

Пример 5. Вычислим −1 − (−3).
Вычитание отрицательного числа заменяем прибавлением: −1 + 3. От точки −1 двигаемся вправо на 3: −1 → 0 → 1 → 2. Получаем 2. Значит, −1 − (−3) = 2.

Противоположные числа

Два числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными. На координатной прямой они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны.

Примеры: 5 и −5; 2,3 и −2,3; 0 противоположен сам себе.

Сумма противоположных чисел равна нулю: a + (−a) = 0.

Координатная прямая и десятичные дроби

На координатной прямой можно отмечать не только целые числа, но и дроби, и десятичные дроби.

Например, чтобы отметить точку с координатой 0,5, нужно разделить единичный отрезок пополам и отсчитать половину вправо от нуля. Для координаты −1,5 — полтора единичных отрезка влево от нуля.

Пример 6. Отметим точки A(2,5), B(−1,5), C(0,5).

<----|----|----|----|----|----|----|---->
    -2  -1,5 -1   0  0,5  1   2  2,5  3

Здесь единичный отрезок равен 1 клетке. Точка A правее нуля на 2,5 клетки, B — левее на 1,5 клетки, C — правее на 0,5 клетки.

Как построить координатную прямую

1. Начертите прямую линию.
2. Отметьте на ней точку O — начало отсчёта (число 0).
3. Выберите единичный отрезок (например, 1 клетку).
4. Отложите вправо от нуля несколько единичных отрезков и подпишите числа 1, 2, 3, ...
5. Отложите влево от нуля столько же единичных отрезков и подпишите числа −1, −2, −3, ...
6. Поставьте стрелку в положительном направлении (вправо).

Готово! Теперь вы можете отмечать на этой прямой любые точки с заданными координатами.

Типичные ошибки

• Путают направление: положительные числа всегда справа, отрицательные — слева.
• Забывают про единичный отрезок: без него нельзя определить координату.
• Считают, что модуль может быть отрицательным: |a| ≥ 0 всегда.
• Неверно сравнивают отрицательные числа: −10 < −1, потому что −10 левее.

Практические задания

1. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок 1 см. Отметьте точки: A(3), B(−2), C(0), D(4,5), E(−3,5).
2. Запишите координаты точек, отмеченных на прямой:

<----|----|----|----|----|----|----|---->
    -3   -2   -1    0    1    2    3
         F         K         M

3. Сравните числа: а) −7 и 2; б) −3 и −5; в) 0 и −1.
4. Найдите модуль чисел: 8; −8; 0; −2,5.
5. Вычислите с помощью координатной прямой: а) −3 + 6; б) 2 − 5; в) −4 + (−2).

Итог

Координатная прямая — это удобный инструмент для работы с числами. Она помогает сравнивать, складывать и вычитать числа, понимать модуль и противоположные числа. Освоив эту тему, вы легко перейдёте к координатной плоскости и графикам.